Энергия заряженной сферы. Энергия электрического поля. (Примеры решения задач). §4.Электростатиче­ская энергия ядра

Энергия в электростатике

Энергия заряженной сферы. Энергия электрического поля. (Примеры решения задач). §4.Электростатиче­ская энергия ядра

В рамках электростатики дать ответ на вопрос, где именно сосредоточена энергия любого конденсатора, невозможно. Заряды и поля, сформировавшие их, не могут существовать обособленно. Следовательно, их разделить не реально.

Однако переменные электростатического поля способы существовать независимо от возбуждающих их положительных зарядов, которые в результате и переносят энергию.

Эти факты заставляют ученых признать, что носителем энергетического потенциала является электростатическое поле.

Рисунок 1. Энергия поля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Одно из самых полезных и интересных открытий в электростатике — это закон сохранения энергии.

Зная уравнения для потенциальной и кинетической силы механической системы, возможно находить взаимосвязь между состояниями концепции в два разных периода времени, не вникая в детали того, что происходит между этими моментами. В электричестве сохранение энергии может оказаться чрезвычайно важным для обнаружения многих научных фактов.

При преобразовании и движении электрических зарядов силы кулоновского воздействия совершают определенную работу $dA$. Совершенная определенной системой работа в основном определяется убылью энергии начального взаимодействия $-dW$ действующих зарядов.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Энергия системы неподвижных точечных зарядов

Рисунок 2. Система неподвижных систем. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Замечание 1

Электростатические силы постоянного взаимодействия довольно консервативны; следовательно, концепция зарядов оснащена потенциальной энергией.

Каждый из неподвижно точечных зарядов проникает в поле другого, забирая част его энергетического потенциала. Добавляя к конкретной системе из двух зарядов последовательно положительно заряженные элементы можно убедиться в том, что в случае неподвижных частиц энергия взаимосвязи равна потенциалу, создаваемому в материальной точке, где расположен сам заряд.

Если в системе имеется уединенный проводник, емкость и потенциал которого соответственно равны начальному состоянию движения частиц, тогда наблюдается увеличение заряда этого проводника. Для этого также необходимо перенести точечный заряд из бесконечности на уединенный объект.

Дальнейшее развитие гипотезы и эксперимента доказало, что переменные во времени магнитные и электрические поля способны существовать только обособленно, независимо от возбуждающих их состояния зарядов, и распространяются в окружающее среде в качестве электромагнитных волн, переносящих энергию. Это убедительно объясняет основное положение закона близкодействия о локализации энергетических величин в поле и что главным носителем энергии является само поле.

Электростатическая энергия ионного кристалла

Рисунок 3. Энергетическая связь кристаллов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Теперь необходимо рассмотреть применение определения электростатики в атомной физике. Ученые не могут запросто измерять силы, которые непосредственно действуют между атомами, но часто именно разница в энергиях двух расстановок молекул интересует больше всего.

Замечание 2

Так как атомные силы в основе своей – электрические параметры, то и химическая составляющая в главной своей части — это просто электростатическая величина. Например, электростатическая энергия ионной решетки.

Ионный идеальный кристалл, такой, как $NaCl$, включает в свой состав положительные и отрицательные ионы, которые можно назвать жесткими сферами. Они электрически и систематически притягиваются, пока полностью не соприкоснутся; затем активируется сила отталкивания, которая мгновенно возрастает, если попытаться сблизить их теснее.

Для начального приближения нужно представит совокупность пространств, представляющих собой атомы в кристалле соли. Строение данной решетки было определено посредством дифракции мощных рентгеновских лучей. Эта решетка может быть только кубической — что-то наподобие трехмерной шахматной доски. Излюбленная величина энергии, которой применяют физико-химики, — килокалория, равная 4190 дж.

Легче всего понимать сущность этой энергии, если:

  • первостепенно выбрать какой-то один ион;
  • подсчитать его потенциальную энергию по отношению ко всем другим движущимся ионам;
  • получить удвоенную энергию на одну частицу, потому что энергия принадлежит исключительно парам зарядов.

Электростатическая энергия ядра

Рассмотрим теперь совершенно другой пример электростатической энергии в физике —электростатику энергии атомного ядра.

Прежде чем заняться этим вопросом, необходимо изучить некоторые характеристики тех основных сил, скрепляющих между собой нейтроны и протоны в ядре.

Первое время после официального открытия ядер исследователи полагали, что теория неэлектрической части энергетической силы, действующей между одним протоном и другим, будет иметь более элементарный вид, подобный закону обратных квадратов в электричестве.

Если бы удалось определить такую гипотезу сил и, кроме того, действующих между протоном и нейтроном сил, то тогда вполне возможно было с теоретической точки зрения детализировано описать поведение всех частиц в ядрах. Поэтому в научном мире начала разворачиваться огромная программа исследования распределения протонов для обнаружения универсального закона сил, способного взаимодействовать с ними.

Однако после тридцатилетних усилий ничего простого так и не удалось создать.

Под словами «сложны и многогранны настолько, насколько возможно» стоит понимать, что эти величины зависят от всех элементов, от каких они могли бы зависеть:

  • Во-первых, сила не обычная функция расстояния между движущимися протонами, так как на больших расстояниях существует притяжение, на меньших наблюдается обратный процесс- отталкивание. В этом случае зависимость от расстояния представляет собой некоторую сложную задачу, которая на сегодняшний день плохо изучена.
  • Во-вторых, энергетическая сила напрямую зависит от начальной ориентации спина протонов. У протонов есть несколько спинов, а два взаимодействующих элемента способны вращаться либо в одном и том же, либо в противоположных направлениях. И сила, когда спины находится на параллельных сторонах, отличается от того, что бывает, когда частицы антипараллельны. Такой разницей пренебречь нельзя, так как она слишком велика.
  • В-третьих, энергия в электростатике существенно изменяется, смотря по тому, параллелен или нет временной промежуток между протонами и их спинам, или же он им остается перпендикулярен.
  • В-четвертых, сила, как и в классическом магнетизме, значительно сильнее зависит от скорости протонов. И такая скоростная зависимость силы является не релятивистским эффектом; она велика даже в той ситуации, когда скорости намного меньше скорости света.

Таким образом, действующие между двумя нейтронами ядерные силы всегда совпадают с силами, которые наблюдаются между протоном и нейтроном, и с силами, движущимися между двумя протонами.

Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса. Потенциал. Проводник в электростатическом поле, страница 4

Энергия заряженной сферы. Энергия электрического поля. (Примеры решения задач). §4.Электростатиче­ская энергия ядра

Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом R1 находится заряд q1. Какой заряд q2 следует поместить на внешнюю сферу радиусом R2, чтобы потенциал внутренней сферы стал равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал j от расстояния r до центра системы?

Решение

Запишем выражения для потенциала вне системы (jII) и в области между сферами (jI):

,     , где j0 – некоторая постоянная. Ее значение легко найти из граничного условия: при r = R2 потенциал jII = jI. Отсюда

.

Из условия jI (R1)= 0 находим

               .

Зависимость j (r) будет иметь вид:

Урок №3

Электрическое поле в диэлектрике. Энергия электрического поля

Поле в диэлектрике является суперпозицией поля E0 сторонних зарядов (q) и поля  связанных (поляризованных) зарядов (q’):

Поляризованностью диэлектрика называется суммарный дипольный момент единицы объема:

Для большинства диэлектриков, P= æ.e0.E,       æ – диэлектрическая восприимчивость.

Поток вектора P через замкнутую поверхность, равен связанному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью, взятому с обратным знаком:

На границе раздела двух диэлектриков:

,

s¢ – поверхностная плотность связанных зарядов.

В диэлектрике теорема Гаусса для вектора E будет такой:

, т.е. следует учитывать все заряды – и сторонние, и связанные, охватываемые поверхностью S. Это неудобно, поэтому вводят вспомогательный вектор:

Как нетрудно убедиться, поток вектора D через замкнутую поверхность определяется только сторонними зарядами:

Для изотропных диэлектриков:

P= æ.e0.E      и       D=e0.E +æ.e0.E = (1+ æ).e0.E = e.e0.E

где e – диэлектрическая проницаемость вещества.

Граничные условия:

, где s – поверхностная плотность сторонних зарядов

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: , где ji – потенциал поля, создаваемого всеми остальными зарядами (кроме qi) в точке, где расположен заряд qi.

Если рассмотреть уединенный проводник, то энергия взаимодействия зарядов проводника между собой даст нам собственную энергию проводника:

,   где   – емкость проводника

При подсчете полной энергии системы следует учитывать собственную энергию всех зарядов и энергию их взаимодействия.

Оказывается, что энергию системы зарядов можно выразить через напряженность электрического поля, создаваемого этими зарядами. Объемную плотность электрической энергии можно найти по формуле:

.

Энергию электрического поля в некотором объеме V можно найти так:

.

Если интеграл взять по всему объему, где существует электрическое поле системы зарядов, то получим полную энергию этой системы.

Рассмотрим систему двух заряженных тел в вакууме (e= 1). Результирующее поле: .

Полная энергия этой системы найдется:

, где интегрирование ведется по всему пространству.

Понятно, что первое и второе слагаемые дают собственную энергию первого и второго проводников соответственно, а третье – энергию их взаимодействия.

Работа сил электростатического поля, как поля потенциальных сил, может быть найдена как убыль энергии: .

Энергия заряженного конденсатора: .

В плоском конденсаторе однородное электрическое поле локализовано только между его обкладками, поэтому .

Задача №1

Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом, и напряженность поля в зазоре равна Е0. Затем половину зазора, как показано на рисунке, заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью e. Найти модули векторов E и D в обеих частях зазора, если при введении диэлектрика напряжение между обкладками не менялось.

Решение

До введения диэлектрика напряжение между обкладками:

, т.к. поле однородное, d – расстояние между обкладками.

Конденсатор. Энергия электрического поля

Энергия заряженной сферы. Энергия электрического поля. (Примеры решения задач). §4.Электростатиче­ская энергия ядра

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: электрическая ёмкость, конденсатор, энергия электрического поля конденсатора

Предыдущие две статьи были посвящены отдельному рассмотрению того, каким образом ведут себя в электрическом поле проводники и каким образом — диэлектрики. Сейчас нам понадобится объединить эти знания. Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах.

Но прежде введём понятие электрической ёмкости.

Ёмкость уединённого проводника

Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым.

Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать , так что

Величина называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу:

(1)

Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:

где — заряд шара, — его радиус. Отсюда ёмкость шара:

(2)

Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то его потенциал уменьшается в раз:

Соответственно, ёмкость шара в раз увеличивается:

(3)

Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.

Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.

В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.

Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (1) видно, что Ф = Кл/В.

Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным км.

мкФ.

Как видите, Ф — это очень большая ёмкость.

Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной . В самом деле, выразим из формулы (2):

Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:

Ф.

Так легче запомнить, не правда ли?

Ёмкость плоского конденсатора

Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными.

Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника.

В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.

Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.

Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров.

Для начала рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух

Пусть заряды обкладок равны и . Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина — заряд положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.

Пусть — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.

Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:

Здесь — напряжённость поля положительной обкладки, — напряженность поля отрицательной обкладки, — поверхностная плотность зарядов на обкладке:

На рис. 1 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.

Рис. 1. Электрическое поле плоского конденсатора

Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля имеем:

Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга):

Внутри конденсатора поле удваивается:

или

(4)

Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 1 справа. Итак:

Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (4). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.

Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями.

На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора.

Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.

Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно . Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов между обкладками равна произведению на (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):

(5)

Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора.

Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости.

Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

(6)

Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на В. Формула (6), таким образом, является модификацией формулы (1) для случая системы двух проводников — конденсатора.

Из формул (6) и (5) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:

(7)

Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Как изменится ёмкость конденсатора?

Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в раз, так что вместо формулы (4) теперь имеем:

(8)

Соответственно, напряжение на конденсаторе:

(9)

Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:

(10)

Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.

Важное следствие формулы (10): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость.

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.

Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.

Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.

Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притяжения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора , площадь обкладок .

Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

где — напряжённость поля первой обкладки:

Следовательно,

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).

Результирующая сила притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил , с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все и дадут . В результате получим:

(11)

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины до конечной величины . Сила притяжения пластин совершает при этом работу:

Знак правильный: если пластины сближаются , то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины , то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

С учётом формул (11) и (7) имеем:

где

Это можно переписать следующим образом:

где

(12)

Работа потенциальной силы притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины . Это как раз и означает, что — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора.

Используя соотношение , из формулы (12) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):

(13)

(14)

Особенно полезными являются формулы (12) и (14).

Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Сила притяжения обкладок уменьшится в раз, и вместо (11) получим:

При вычислении работы силы , как нетрудно видеть, величина войдёт в ёмкость , и формулы (12) — (14) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться по формуле (10).

Итак, формулы (12) — (14) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.

Энергия электрического поля

Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование происхождения этой энергии. Что ж, приступим.

Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (14) для его энергии:

Но — объём конденсатора. Получаем:

(15)

Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля , сосредоточенного в некотором объёме .

Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электрического поля.

Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в пространстве электромагнитными волнами.

Величина — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью энергии. Из формулы (15) получим:

(16)

В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.

Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в раз, и вместо формул (15) и (16) будем иметь:

(17)

(18)

Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости среды, в которой поле находится.
Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и для электрических полей, меняющихся во времени.
Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.